2000년 난제 ‘렌즈 수차’ 수학으로 해결

- 멕시코 국립대학 박사과정 학생 라파엘 곤잘레스 수학으로 해결

2000년간 해결되지 않았던 렌즈의 구면수차를 멕시코 대학원생이 수학으로 해결했다. 

빛을 모으려면 렌즈가 필요하다. 렌즈는 한 점을 중심으로 원을 그리는 곡면으로 이루어졌다. 하지만 정확히 한 점으로 모으지 못해 주변으로 갈수록 안으로 모이는 현상이 만들어지는 문제점이 생기게 된다. 이것을 구면수차(Spherical aberration)라고 한다. 

그동안은 수차를 해결하기 위해 렌즈의 주변 각을 변형시킨 비구면 렌즈(일부분이 완전 곡면이 아닌 렌즈) 2개를 겹쳐 수차를 어느 정도 해결해왔다. 그런데 렌즈 하나로 이 모든 걸 해결했다는 뜻이다.

놀랄만한 이번 성과는 멕시코 대학원생 라파엘 곤잘레스가 수학으로 해결한 것이다. 렌즈 단면을 일반적인 구형이 아닌 굴곡이 있게 수학공식으로 풀어냈다. 

연구 성과는 광학분야 학술지 어플라이드 옵틱스(Applied Optics) 최근호에 ‘구면수차가 없는 양면 비구면 일괄 렌즈 설계를 위한 일반 공식(General formula to design a freeform singlet free of spherical aberration and astigmatism)’이라는 논문 제목으로 게재됐다.

▲ 곤잘레스 분석으로 도출된 구면수차가 제거된 렌즈의 그림. [멕시코 국립대학(UNAM)]

그 후, 곤잘레스는 같은 과정 동료들과 함께 500개의 광선을 쏴서 시뮬레이션한 결과 99.9999999999%의 평균 만족도를 얻었다. 

고대 그리스의 과학자 아르키메데스가 오목 거울로 햇빛을 모아 적 함대를 태웠다는 이야기가 있지만, 공식적인 광학의 역사는 2000년 전으로 거슬러 올라간다. 

렌즈의 구면수차는 2000년 전 그리스 수학자 디오클레스(Diocles)가 저서 ‘불타는 거울(Burning Mirrors)’에서 구면수차 문제를 언급했다. 또한 17세기의 천문학자인 크리스티안 하이겐스(Christiaan Huygens)는 1690년 저서 ‘빛에 관한 논고(Light on Treatise)’에서 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)가 망원경 렌즈의 구면수차를 해결하려고 했지만 실패했다고 말했다.

실제로 뉴턴이 고안한 뉴턴식 반사 망원경은 색 번짐(색 수차)는 발생하지 않지만, 반사경을 사용하고 있기 때문에 구면수차를 완전하게 보정할 수 없었다.

이후 1949년 이 문제를 와써맨(Wasserman)과 울프(Wolf)가 영국왕립학회지(Royal Society Proceedings)를 통해 구면수차 없이 렌즈를 설계하는 방법을 문제로 정했다. 이후 과학계에서는 ‘Wasserman-Wolf’ 문제로 공식화됐다. 

▲그림의 매우 복잡한 수식은 렌즈의 표면을 분석해 설계할 수 있는 공식이다. 렌즈의 두 번째 비구면 모양이 첫 번째 부분과 어떻게 거리를 둬야 하는지를 설명하는 수식이다. [멕시코 국립대학(UNAM)]

멕시코 국립대학(UNAM) 박사과정 학생인 라파엘 곤잘레스(Rafael González)는 이전부터 렌즈 구면수차의 문제를 수학으로 작업하던 중이었다. 그는 어느 날 아침 식사를 위해 빵에 누텔라를 바르다가 이 아이디어를 떠올렸다. 아이디어를 컴퓨터 시뮬레이션을 실시한 결과, 구면수차를 해소할 수 있었다. 

또한, 곤잘레스 연구팀은 1900년에 공식화된 레비 치비타(Levi-Civita) 문제도 해결한 것으로 알려졌다. 

렌즈의 수차가 수학으로 해결함으로써 저렴하고 성능이 좋은 렌즈 개발로 획기적인 망원경이나 분광기 등이 나올 수 있는 토대가 마련됐다. 

김들풀 기자 itnews@